Будет ли бесконечность. Так ли бесконечна бесконечность? Бесконечность разных размеров

В повседневной жизни человеку чаще всего приходится иметь дело с конечными величинами. Поэтому наглядно представить себе ничем не ограниченную бесконечность бывает очень сложно. Это понятие окутано ореолом таинственности и необычности, к которому примешивается благоговение перед Вселенной, границы которой определить практически невозможно.

Пространственная бесконечность мира принадлежит к наиболее сложным и спорным научным проблемам. Древние философы и астрономы пытались разрешить этот вопрос посредством самых простых логических построений. Для этого достаточно было допустить, что можно достичь предполагаемого края Вселенной. Но если в этот момент вытянуть руку, то граница отодвигается на какое-то расстояние. Эту операцию можно повторять бесчисленное количество раз, что доказывает бесконечность Вселенной.

Бесконечность Вселенной трудно себе представить, но не менее сложно , как мог бы выглядеть ограниченный мир. Даже у тех, кто не сильно продвинут в изучении космологии, в этом случае возникает естественный вопрос: а что находится за границей Вселенной? Впрочем, подобные рассуждения, построенные на здравом смысле и житейском опыте, не могут служить прочным основанием для строгих научных выводов.

Современные представления о бесконечности Вселенной

Современные ученые, исследуя множественные космологические парадоксы, пришли к выводу, что существование конечной Вселенной в принципе противоречит законам физики. Мир за пределами планеты Земля, по всей видимости, не имеет границ ни в пространстве, ни во времени. В этом смысле бесконечность предполагает, что ни количество заключенного во Вселенной вещества, ни ее геометрические размеры нельзя выразить даже самым большим числом («Эволюция Вселенной», И.Д. Новиков, 1983).

Даже если принять во внимание гипотезу о том, что Вселенная около 14 млрд лет назад образовалась в результате так называемого Большого взрыва, это вполне может означать лишь, что в те чрезвычайно отдаленные времена мир прошел через очередной этап закономерной трансформации. В целом же бесконечная Вселенная никогда не появлялась в ходе первоначального толчка или необъяснимого развития какого-то нематериального объекта. Предположение о бесконечной Вселенной ставит крест на гипотезе Божественного творения мира.

В 2014 году американские астрономы опубликовали результаты самых последних исследований, которые подтверждают гипотезу о существовании бесконечной и плоской Вселенной. С высокой точностью ученые измерили расстояние между галактиками, расположенными на расстоянии в несколько миллиардов световых лет друг от друга. Оказалось, что эти колоссальные по размерам космические звездные скопления расположены по кругам, имеющим постоянный радиус. Построенная исследователями космологическая модель косвенно доказывает, что Вселенная бесконечна как в пространстве, так и во времени.

Все люди знают это число и используют для описания чего-то непостижимо огромного. Однако бесконечность - не такое простое понятие, как кажется на первый взгляд.

1. Согласно правилам бесконечности, существует бесконечное число как чётных, так и нечётных чисел. Тем не менее, нечетных чисел будет ровно половина от общего количества чисел.

2. Бесконечность плюс единица равняется бесконечность, если отнять единицу - получаем бесконечность, сложив две бесконечности получим бесконечность, бесконечность, поделённая на два, равняется бесконечности, если вычесть бесконечность из бесконечности, то результат не вполне ясен, а вот бесконечность, поделённая на бесконечность, скорее всего, равняется единице.

3. Учёные определили, что в известной нам части Вселенной существует 1080 субатомных частиц - это та часть, которую исследовали. Многие учёные уверены, что Вселенная бесконечная, а учёные, которые скептически относятся к бесконечности Вселенной, в данном вопросе всё-таки допускают такую вероятность.

4. Если Вселенная бесконечна, то с математической точки зрения получается, что где-то находится точная копия нашей планеты, поскольку существует вероятность, что атомы «двойника» занимают такое же положение, как и на нашей планете. Шансы, что такой вариант существует, ничтожно малы, но в бесконечной Вселенной это не только возможно, но и обязательно должно произойти, и, по меньшей мере, бесконечное число раз, при условии, что Вселенная все-таки бесконечно бесконечна.

5. Однако не все уверены, что Вселенная бесконечна. Израильский математик, профессор Дорон Зельбергер, убеждён, что числа не могут увеличиваться бесконечно, и существует такое огромное число, что если прибавить к нему единицу, получится ноль. Тем не менее, это число и его значение лежат далеко за пределами человеческого понимания, и вероятно, это число никогда не будет найдено и доказано. Это убеждение является главным принципом математической философии, известной как «Ультрабесконечность».

Как работает «мозгопочта» - передача сообщений от мозга к мозгу через интернет

10 тайн мира, которые наука, наконец, раскрыла

10 главных вопросов о Вселенной, ответы на которые учёные ищут прямо сейчас

2500-летняя научная тайна: почему мы зеваем

3 самых глупых аргумента, которыми противники Теории эволюции оправдывают своё невежество

Атом, люстр, нуктемерон, и ещё семь единиц времени, о которых вы не слышали

Согласно новой теории, параллельные вселенные могут существовать в действительности

Бесконечность является абстрактным понятием, используемым, чтобы описать или обозначить нечто бесконечное или безграничное. Это понятие важно для математики, астрофизики, физики, философии, логики и искусства.

Вот несколько удивительных фактов об этом комплексном понятии, которые способны взорвать мозг лбого человека, не очень близко знакомого с математикой.

Символ бесконечности

У бесконечности есть свой собственный специальный символ: ∞. Символ, или лемниската, был введен священнослужителем и математиком Джоном Уоллисом в 1655 году. Слово «лемниската» происходит от латинского слова lemniscus, что означает «лента».

Уоллис, возможно, основал символ бесконечности на римской цифре 1000, рядом с которой римляне раньше указывали «бесчисленный», в дополнение к числу. Также возможно, что символ основан на омеге (Ω или ω), последней букве греческого алфавита.

Интересный факт заклчается в том, что понятие бесконечности появилось и использовалось задолго до того, как Уоллис наградил его символом, который мы используем по сей день.

В четвертом веке до нашей эры джайнистский математический текст под названием Сурья-праджнапти-сутра разделял все числа на три категории, каждая из которых, в свою очередь, разделялась на три подкатегории. В этих категориях были указаны перечислимые, неперечислимые и бесконечные числа.

Апория Зенона

Зенон Элейский, родившийся приблизительно в пятом веке до н. э., был известен парадоксами, или апориями, включающими и понятие бесконечности.

Из всех парадоксов Зенона самым известным является «Ахиллес и Черепаха». В апории черепаха бросает вызов греческому герою Ахиллесу, приглашая его на гонку. Черепаха утверждает, что выиграет гонку, если Ахиллес даст ей преимущество в тысячу шагов. Согласно парадоксу, за то время, что Ахиллес пробежит все расстояние, черепаха сделает в ту же сторону еще сто шагов. Пока Ахиллес пробежит еще сто шагов, черепаха успеет сделать еще десять и так далее по убывающей.

В более простом изложении парадокс рассматривается так: попробуйте пересечь комнату, если каждый следующий шаг в половину меньше предыдущего. Хоть каждый шаг и приближает вас к краю комнаты, вы никогда на самом деле не доберетесь до него, или доберетесь, но на это потребуется бесконечное количество шагов.

Согласно одной из современных трактовок, этот парадокс основан на ложном представлении о бесконечной делимости времени и пространства.

Число пи - пример бесконечности

Отличным примером бесконечности является число пи. Математики используют для числа пи символ, потому что невозможно записать все число целиком. Пи состоит из бесконечного количества чисел. Оно часто округляется до 3,14 или даже 3,14159, но неважно, сколько цифр записано после запятой, ведь невозможно добраться до конца числа.

Теорема о бесконечных обезьянах

Еще один способ думать о бесконечности - рассмотреть теорему о бесконечных обезьянах. Согласно теореме, если дать обезьяне печатную машинку и бесконечное количество времени, в конечном счете у обезьяны получится напечатать «Гамлета» или любое другое произведение.

В то время как многие люди воспринимают теорему как демонстрацию веры в то, что нет ничего невозможного, математики рассматривают ее как доказательство невозможности определенного события.

Фракталы и бесконечность

Фрактал - это абстрактный математический объект, используемый в математике и искусстве, чаще всего он моделирует природные явления. Фрактал записывается как математическое уравнение. Рассматривая фрактал, можно заметить его сложную структуру на любом масштабе. Другими словами, фрактал бесконечно увеличиваем.

Снежинка Коха является интересным примером фрактала. Снежинка выглядит как равносторонний треугольник, образующий замкнутую кривую бесконечной длины. Увеличивая кривую, на ней можно увидеть все новые и новые детали. Процесс увеличения кривой может продолжаться бесконечное количество раз. Несмотря на то что у снежинки Коха есть ограниченная область, она ограниченна бесконечно длинной линией.

Бесконечность разных размеров

Бесконечность безгранична, на все же она поддается измерению, пусть и сравнительному. Положительные числа (больше 0) и отрицательные числа (меньше 0) могут похвастать бесконечными наборами чисел равных размеров. А что происходит, если объединить оба набора? Получится вдвое большой набор. Или еще пример - все четные числа (их бесконечное количество). И все равно это всего лишь половина бесконечного количества всех целых чисел. Другой пример, просто прибавьте единицу к бесконечности. Поучится число на 1 больше бесконечности.

Космология и бесконечность

Космологи изучают Вселенную, неудивительно, что понятие бесконечности играет для них важную роль. Есть ли границы у Вселенной или она бесконечна?

Этот вопрос до сих пор остается без ответа. Наша Вселенная расширяется, но куда? И где предел этого расширения? Даже если у физической Вселенной и существуют границы, у нас все еще есть теория мультивселенной, которая рассматривает существование бесконечного количества Вселенных, в которых могут быть отличные от нашей законы физики.

Деление на ноль

Деления на ноль не существует. Оно невозможно, по крайней мере, в обычной математике. В привычной нам математике единицу, поделенную на ноль, невозможно определить. Это ошибка. Однако так бывает не всегда. В расширенной теории комплексных чисел деление единицы на ноль не вызывает неминуемого коллапса и определяется некоторой формой бесконечности. Другими словами, математика бывает разной, и не вся она ограничивается правилами из учебников.

Прежде чем ответить на ваш вопрос, позвольте мне вначале прояснить, что я думаю, это путаница. В формальной математике $infty$ не является числом.Причина, по которой математики не рассматривают $infty$ как число, состоит в том, что если бы мы это сделали, мы бы сделали некоторые выводы, которые явно ошибочны.

Например, одно из номеров свойств состоит в том, что вы можете вычесть одно и то же число с обеих сторон уравнения, и уравнение будет по-прежнему истинным. Например, я могу вычесть $1$ с обеих сторон уравнения $x+1=4$ , чтобы получить $x=3$ . С другой стороны, если я обрабатываю $infty$ как регулярное число и вычитаю $infty$ с обеих сторон «уравнения» $infty + 1 = \infty$ , я получаю $1=0$ , что явно ложно.

Вместо этого математики думают о $infty$ как limit . Грубо говоря, это означает, что если вы хотите «подключить» $infty$ к функции, вы подключаете больше и больше цифр и смотрите, что произойдет в долгосрочной перспективе. Например, мы пишем $lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}=0$ to mean that "as you plug bigger and bigger numbers into the function $f (x) = 1/x$ , the function becomes arbitrarily close to zero." You should convince yourself that this particular limit is right. In some cases the limit is infinite; all this means is that, as you plug in bigger and bigger numbers into the function, the function becomes arbitrarily large. For example,

• $lim_{x to infty}x = infty$ .
• $lim_{x to infty}x^2 = infty$ .

To answer your question, pretty much anything can happen when $infty$ is involved. Let"s look at the two examples I just gave. Even though both functions $f (x) = x$ and $g (x) = x^2$ go to infinity as $x$ goes to infinity, the second one grows a lot faster. Case in point: $f (100) = 100$ and $g (100) = 10 , 000$ . In fact, $g (x)$ grows so much faster that the difference $g (x) - f (x)$ (remember that this is just $x^2-x$) also goes to infinity as $x$ goes to infinity. You can convince yourself of this by plugging in values. In symbols, $lim_{x\to\infty}(x^2 - x) = \infty.$ So informally speaking, it is possible that $infty- infty = infty$ !

If this result seems counter-intuitive to you, it is because you are thinking of the two infinities on the left hand side of the equation $infty- infty = infty$ as the same $infty$ : in fact, they are different. The first $infty$ comes from the function $g (x) = x^2$ , and in some sense it is bigger than the $infty$ from the function $f (x) = x$ since $x^2$ gets bigger a lot faster than $x$ does.

In any case, you can come up with other functions (that is to say, you can approach $infty$ at different speeds) that make the following statements true:

• $infty- infty$ can equal anything between $- infty$ and $+ infty$ .
• $infty/ infty$ can equal anything between $- infty$ and $+ infty$ .
• $infty^0$ can equal anything between $0$ and $+ infty$ .

Finally, there can be cases where plugging in $infty$ doesn"t give you any answer at all. If you took trigonometry you"re probably familiar with the sine function, whose graph oscillates back and forth, like a wave, between $-1$ and $+ 1$ . (I tried to put a picture of the graph of sine here, but I couldn"t get it to work since I"m new to this site. Just search "graph of sine" on Google images and you"ll see what I mean.) If you plug in larger and larger numbers into $sin (x)$ , you won"t approach any fixed number. So $sin infty$ не существует .

Вконтакте

Существует ли бесконечность

Бесконечна ли Вселенная, и если - да, то «этого не может быть». А если нет, то что там по ту сторону? А кто любит сказки насчёт ограниченных многообразий без края, типа сферы, - пусть мысль пошлёт перпендикулярно краю. Что там? Или кто. Вымышленная бесконечность не так пронзительна, но тоже непостижима, местами. Георг Кантор. Сравнение бесконечностей. Континуум. На квадрате столько же точек, сколько на отрезке.

Испепеляющее жжение пространственной вечности шокирует до тех пор, пока проблемы Поднебесной воспринимаются нутром, а не умом. Потом пронизывающий зов «неисчерпаемости » помаленьку глохнет, и обжигаясь о реальность, человек прячется в выдуманном мире. Спрятаться хорошо всё равно не удаётся.

В мире идей бесконечность является в другом облике. В каком смысле существует натуральный ряд? Как разворачивающийся процесс или как завершившийся? Натуральные числа потенциально можно построить или они уже есть в наличии? Поначалу проблема

отдаёт схоластикой. Не все ли равно, казалось бы. Последствий-то никаких.

Последствия тем не менее грандиозные. В альтернативе получаются две разные математики. Одна – конструктивная, не допускающая осуществления бесконечности во всей её необъятности. Другая – обычная, всеядная.

Мелкие неприятности от присутствия бесконечности возникают уже в элементарных

ситуациях типа, где наличие взаимно однозначного соответствия n ↔ n^2 подталкивает к мысли, что целых чисел столько же, сколько их квадратов. Пример давно набил оскомину, но он в простейшей форме отражает наличие проблемы. Получается ведь, если Некто забирает у меня каждый день 10 рублей, а отдаёт – один, то, когда процесс закончится, мы будем квиты. Ибо, если ряд уже состоялся, n-й рубль мне был отдан в n-й день. Парадокс, конечно, не стоит выеденного яйца, потому что процесс никогда закончится, – думает пятиклассник.

А как быть с дробями p/q? Они все «уже есть» на отрезке . Они тут, их не надо добавлять одну за другой. Так что – «ловушка конечного размера для бесконечности ». Маленький

кошелёк, куда помещаются все дроби. А корень из двух, как состоявшаяся бесконечность, из-за бесконечности десятичной дроби. Поэтому у теории множеств есть все основания рассматривать бесконечность как «данность ». Другое дело что к этой данности предъявляются определённые требования, дабы не возникало противоречий.

Однако, как только что-либо признаёшь, начинаются хлопоты. Бесконечностей рой, и с

ними надо как-то управляться. Этим занялся Георг Кантор , создавший теорию множеств. Случившаяся революция подтверждает известный тезис «истина рождается как ересь и умирает как банальность ». Главные идеи сегодня доступны всем. А «тогда » невозможно

было объяснить никому. Интуиция противилась. Сейчас-то болезнь укоренилась, недоумение иссякло.

В основу изучения множеств Кантор положил инструмент взаимно-однозначного соответствия. Множества X, Y эквивалентны, если между их элементами можно установить взаимно-однозначное соответствие.

Отношение эквивалентности рефлексивно и транзитивно , что позволяет разбить все

множества на классы эквивалентности. Класс эквивалентности множества X называют его мощностью, и обозначают как |X|. Множества упорядочиваются по мощности с помощью естественного трюка.

Множества, эквивалентные натуральному ряду, называют счётными. Счётны любые последовательности. Рассмотрение десятичных дробей сталкивается с новым явлением. Множество таких чисел (континуум) оказывается несчётным.

Весьма болезненной была историческая попытка установить, что отрезок и квадрат х имеют разные мощности. Оказалось – одинаковые. Такой встряски мир не получал со времен Галилея, когда обнаружилось, что все тела падают с одинаковым

ускорением.

Как бы там ни было, бесконечность завоевала место под солнцем. Без неё в математике всё «стояло бы на месте». Да~оно и стоит – в конструктивной математике, куда не помещается – обыкновенная. Равенства и неравенства конструктивных чисел чаще всего не проверяются, последовательностям некуда сходиться, пределы не существуют, непрерывность только снится, и вообще всё рушится. Жуткая картина. Степень катастрофы даже трудно оценить. Поэтому бесконечность почти так же полезна как «единица». Другая сторона медали, как бы. Эдакое вместилище того, «чего не бывает».